Найдите такое значение a> 1, при котором уравнение a^x = log_ax имеет единственное решение. в ответе укажите число e*lna.

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

Oufaa

26.02.2021 08:06

Длина прямоугольника 16см площадь 64см квадратных найдите ширину и периметр прямоугольника...

forest7775owc130

26.02.2021 08:06

Вычисли периметр двадцатипятиугольника, если длина каждой его стороны равна 2 дм 5 см...

Кираfox15

26.02.2021 08:06

№1 в мешке у деда мороза лежат елочные шары, причем 10 из них белые, 23 красные, 17 зеленые. найдите вероятность того, что мише достанется красный шарик. №2 найти вероятность...

evelina2112

26.02.2021 08:06

Сколько произведений о муми -троллях написала туве янсон?...

kategys

26.02.2021 08:06

1найдите значение величины , если семь пятнадцатый её равны 210дм3...

nickolaimatviip0c00u

27.12.2022 16:21

Запишите все: двухзначные числа кратные 3 и 13...

Abl15

27.12.2022 16:21

Сократите дроби. результат запишите в виде смешанных чисел. 32*54+32*30 \ 32*54-32*30...

fernandic201011

27.12.2022 16:21

Выражение : 1)8-(10+b) 3) 2+(-8+c) 6) 0,8 - (m +3) 2) 9 -( c +7) 4) 3+(-d-5) 7) 1,4 + (n-2) 5) 4+ (a-9) 8) 2,6 +10) !...

sanzharzhumakhp0a0p5

27.12.2022 16:21

Растворяется поваренная соль в воде?...

amina353

27.12.2022 16:21

Длина прямоугольника 8см, ширина 3 см.найди его площадь. начерти прямоугольник со сторонами 2 и 7 см.найди его площадь....

Ответ:

Иркутяночка52017

02.10.2020 17:30

Найти такое $\displaystyle a\in\mathbb{R}$ , что $\displaystyle a\ \textgreater \ 1\land{\big|\{x\in\mathbb{R} \mid a^x=\log_a(x)\}\big|=1}.$

Пусть $\displaystyle f(x)=a^x,\,g(x)=\log_a(x).$

Заметим, что $\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)=a^{\log_a(x)}=x$ , то есть $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x).$

$\displaystyle \forall{x}:f(x)=f^{-1}(x)\implies{x=f(x)},$ значит имеем $\displaystyle x=a^x.$

Уравнение $\displaystyle x=a^x$ имеет единственное действительное решение только тогда, когда $\displaystyle y=x$ касается $\displaystyle y=f(x).$

$\displaystyle f'(x)=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(a^x\right)}{\text{d}x}=\frac{\text{d}\left(e^{x\log(a)}\right)}{\text{d}x}=\frac{\log(a)e^{x\log(a)}\text{d}x}{\text{d}x}=\log(a)a^x;$

$\displaystyle t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=a^{x_0}+\log(a)a^{x_0}(x-x_0);$

$\displaystyle\begin{cases}t_{x_0}(0)=0,\\\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}t_{x_0}(x)=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}x}=1;\end{cases}$

$\displaystyle\begin{cases}0=a^{x_0}-x_0\log(a)a^{x_0},\\1=\log(a)a^{x_0} \implies a^{x_0}=\dfrac{1}{\log(a)};\end{cases}$

$\displaystyle 0=\frac{1}{\log(a)}-x_0\log(a)\frac{1}{\log(a)} \implies x_0=\frac{1}{\log(a)};$

$\displaystyle 1=\log(a)a^{1/log(a)}=\log(a)e^{\log(a)/\log(a)}=\log(a)e;$

$\displaystyle \log(a)=\frac{1}{e}\implies a=\boxed{e^{1/e}}\phantom{.};$

$\displaystyle a=e^{1/e}\implies e\log(a)=e\log(e^{1/e})=e\frac{1}{e}\log(e)=\boxed{1}\phantom{.}.$

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку