Расстояния от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до вершин острых углов равны a,b.найти расстояние от этой точки до вершины прямого угла. решить.

По a  и  b находим медианы м1 и м2, равные 1,5а и 1,5 b соответственно.
Пишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников у которых гипотенузы - медианы, а прямой  угол тот же, что у исходного треугольника. Катеты исходного треугольника обозначим к1 и к2.
0.25 к1^2+к2^2=м1^2
0,25 к2^2+к1^2=м2^2
гипотенузу обозначим Г
 Складываем уравнения
Получаем:
0.25 Г^2 +Г^2=м1^2+м2^2
Вспомнив обозначения :
Г=2*1,5sqrt(a^2+b^2)
 В прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит  1,5sqrt(a^2+b^2) , а искомый отрезок равен 2/3 медианы, т.е.sqrt(a^2+b^2).
Всюду  sqrt(.) - взятие квадратного корня.
ответ : искомый отрезок равен sqrt(a^2+b^2)
 Красивый факт. Не знал.

я