Доказать, что радиус описанной окружности, проведенный в одну из вершин треугольника, перпендикулярен прямой, соединяющей основания высот, проведенных из двух других вершин треугольника.

Пусть <АВО = х; тогда <ВАО = х
пусть <АСО = у; тогда <САО = у
<OАC=<OCA=z
∆ABС <A+<B+<C=2x+2y+2z=180
<OАC=<OCA=90-(x+y)
<BAC=<BAO+<OАC=x+90-(x+y)=90-y
∆ABE: <ABE = x+y; <BEA = 90 ; < EAB = 90-(x+y)
<EAC=<BAC-< EAB=90-y-90+(x+y)=x
проведем окружность с диаметром АС
точки D E лежат на этой окружности так как являются вершинами прямоугольных треугольников с гипотенузой АС
<EAC=x значит <EDC=x  так как углы опираются на одну дугу
значит <BDE = 90 - <EDC = 90 - x
∆BDK:  <DBK = x; <BDК = 90 - x ; значит <K = 90