По какому признаку можно можно разложить детали конструктора на две группы так,чтобы в одной группе деталей было столько же, сколько в другой?

По любому признаку можно делить. В условии не задано,  что ВСЕ детали конструктора (полностью)  должны быть разделены по ЭТОМУ признаку поровну.

Поэтому можно в одной группе собрать квадратные пластинки, в другой - не квадратные (и положить их СТОЛЬКО ЖЕ).
Можно - колеса и не колеса, пластинки с четным и нечетным количеством отверстий, болты и гайки...