Папа и сын плывут по реке на лодке против течения. в какой то момент сын уронил за борт папину шляпу. только через 15 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку и он плыли по течению с той же собственной скоростью. за сколько минут они догонят шляпу?

Пусть скорость лодки =  х ммин;
скорость реки =  y ммин,
тогда скорость лодки за течением = x + y против реки = x - y. 
За 15 мин лодка проплыла 15·(x+y)=15·x+15·y, а шапка проплыла 15·y 
Расстояние  между лодкой и шапкой равно (15·x+15·y)-15·y=15·x
Скорость сближения =  x - y + y = x ммин.
Получается папа с сыном "догонят"  шапку через 15 минут.
ответ: через 15 мин

Обозначим скорость лодки как х, а скорость реки как y.Нам известно, что путь S вычисляется по формуле S=v*tНайдем сначала путь который шляпа за 15 минутSш=15*y Это путь который пройдет шляпа за 15 минут.Найдем путь который пройдет лодка за 15 минут, т.к плывем против течения, то из скорости лодки вычитается скорость течения, значит скорость лодки против течения будет x-y. Теперь найдем путь:Sл=15*(x-y)Теперь найдем расстояние между шляпой и лодкой через 15 минутSобщ=15*(x-y)+15*y=15*xТеперь рассматриваем момент, когда лодка плывет по течению. Ее скорость будет x+y (скорость лодки плюс скорость реки) Так как шляпа плывет со скоростью реки и лодка плывет с собственной скоростью+скорость реки, то мы можем свести задачу к другой:Найти время за которое лодка проплывет путь Sобщ при скорости x.Это можно сделать потому что шляпа будет удаляться со скоростью у, а лодка будет к ней приближаться со скоростью х+у, значит можно считать что шляпа стоит, а лодка плывет к ней, но уже со скорость х. Найдем теперь это время. Из формулы S=vt получаем, что t=S/vПуть нам известен он равен Sобщ, скорость лодки нам тоже известна она равна х.(почему смотри выше)Найдем время:  минут