Можно ли расставить по кругу 4 различных числа так, чтобы каждое число равнялось произведению двух соседних с разных сторон чисел?

Нет, нельзя.

Предположим, что нам это удалось, и по кругу стоят числа a,b,c,d, причём каждое равняется произведению двух соседних (числа a и d также являются соседними). Но тогда b=ac и d=ac, то есть, b=d, что противоречит условию. Значит, расставить 4 числа по кругу требуемым образом нельзя.