Доказать, что разница между кубом любого числа и самим числом делится на 6​

Пусть а - число.
а^3 - а = а•(а^2 - 1) = а•(а + 1)•(а - 1) =
= (а-1)•а•(а+1)

После преобразования исходного выражения мы получили произведение трех последовательных натуральных чисел.

Любое из трех последовательных натуральных чисел кратно 3, то есть делится на 3.
Посудите сами:
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
...
111, 112, 113 и т.д.

Среди трех последовательных натуральных чисел, по меньшей мере одно четное, то есть делится на 2.
Посудите сами:
5, 6, 7
или
92, 93, 94

Следовательно, разность между кубом любого числа и самим числом кратна 3, то есть делится на 6.