Составьте уравнение касательной к графику функции - вопрос №4474593544 от Swerri 08.04.2022 19:22

Question

Математика: Составьте уравнение касательной к графику функции y=-cos(5x+π/4)-4, в точке абсциссой x0=0

Swerri · Answer

Уравнение касательной к графику дифференцируемой функции y=f(x) в точке с координатами (x0,y0) имеет вид:
$Y- y_{0}=f'(x)*(X- x_{0} )$ , где X,Y - текущие координаты касательной (это уравнение следует из уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через некоторую точку).

Абсцисса точки, через которую проходит касательная, нам дана. Найдём ординату этой точки:
$y_{0} =-cos(5* x_{0} + \frac{ \pi }{4} )-4=-cos(5*0 + \frac{ \pi }{4} )-4=- \frac{ \sqrt{2} }{2}-4$ .

Теперь найдём первую производную данной функции в точке x0:
$y' =(-cos(5x + \frac{ \pi }{4} )-4)'=-(cos(5x+\frac{ \pi }{4}))'=5*sin(5x+\frac{ \pi }{4})$
$y'(x_{0})=5*sin(5* x_{0} +\frac{ \pi }{4})=5*sin(5*0+\frac{ \pi }{4})=5 *\frac{ \sqrt{2} }{2}$

Подставим x0, y0, y'(x0) в $Y- y_{0}=f'(x)*(X- x_{0} )$ :
$Y-(- \frac{ \sqrt{2} }{2}-4 )=(5 *\frac{ \sqrt{2} }{2})*(X-0 ) \\ Y+4=- \frac{ \sqrt{2} }{2}+5*X *\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ Y+4=\frac{ \sqrt{2} }{2}*(5X-1)$

Это и будет уравнение касательной к графику данной функции в требуемой точке.