Можно ли без остатка разделить нечётное число на чётное?

Нет, так как формулы:
2n - четное число
2n+1-нечетное число
 а еще проще: чтобы из четного числа получить нечетное, нужно к четному прибавить 1 - поэтому остаток будет всегда.
0 не беру в расчет, так как на 0 делить нельзя.

Нет. Нельзя. Например: 7:4=1.75
Это десятичная дробь, но не остаток. В 1-4 классе этого не изучают.