Даны координаты вершин пирамиды а1 а2 а3 а4. средствами векторной найти: 1) угол между рёбрами а1а2и а1а4; 2) площадь грани а1 а2 а3; 3) проекцию вектора а1а3на вектор а1а4; 4) объём пирамиды а1(2, 4, 3), а2(7, 6, 3), а3(4, 9, 3), а4(3, 6, 7).

1) Определяем векторы А1А2 и А1А4:
А1А2 =(7-2=5; 6-4=2; 3-3=0) = (5; 2; 0),
А1А4 = (3-2=1; 6-4=2; 7-3=4) =(1; 2; 4).
Угол между рёбрами А1А2 и А1А4:
=1,197487 радиан = 68,61098 градуса.

2) площадь грани А1 А2 А3:
Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов.
Вектор А1А2  найден.
Находим вектор А1А3: = (4-2=2; 9-4=5; 3-3=0) = (2; 5; 0).
S = (1/2)*|a × b|.
c =a × b =   (2·0 - 0·5) -  (5·0 - 0·2) +  (5·5 - 2·2) =  =  (0 - 0) -  (0 - 0) + 
+ (25 - 4) = {0; 0; 21}
|a x b| = √(cx² + cy² + cz²) = √(0² + 0² + 21²) = √(0 + 0 + 441) = √441 = 21.
Найдем площадь треугольника:S = (1/2)*21 = 10.5.

3) Проекция вектора А1А3 на вектор А1А4.
Пр ba = (a · b)/|b|
Найдем скалярное произведение векторов :a · b = ax · bx + ay · by + az · bz =
 5 · 1 + 2 · 2 + 0 · 4 = 5 + 4 + 0 = 9
Найдем модуль вектора :|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(1² + 2² + 4²) = 
√(1 + 4 + 16) = √21
Пр ba = 9/√21 = 3√21/7 ≈ 1.963961.

4) Объём пирамиды.
Объем пирамиды равен:  (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3
Находим третий вектор :
AS = {Sx - Ax; Sy - Ay; Dz - Az} = {3 - 2; 6 - 4; 7 - 3} = {1; 2; 4}.
V = (1/6)|AB · [AC × AD]|.
Находим смешанное произведение векторов:
AB · (AC × AS) = 5·5·4 + 2·0·1 + 0·2·2 - 0·5·1 - 2·2·4 - 5·0·2 = 100 + 0 + 0 - 0 - 16 - 0 = 84
Найдем объем пирамиды: V = (1/6)·84 = 14.