Вправильной треугольной пирамиде sabc c основанием abc на медиане се взята точка к так, что ск: ке =8: 1. через точку к проведена плоскость, перпендикулярная прямой се и пересекает боковые ребра sа и sb в точках м и n соответственно. докажите, что mn : ab = 2: 3.

Из условия задачи видно, что заданная плоскость вертикальна и параллельна стороне основания АВ.
Тогда отрезок MN параллелен АВ.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды ESC.
Точка О - основание высоты пирамиды.
ЕО - часть высоты основания и равно (1/3) её части.
Если вся высота равна 9 частей (по условию задачи), то ЕК равно 1 части и равно 1/3 части от ЕО.
Заданная плоскость пересекает апофему SE грани АSВ в точке Е₁.
Подобные треугольники ЕЕ₁К и ESO имеют коэффициент подобия 1/3.
Тогда SЕ₁ равно 2/3 от SE и это есть коэффициент подобия треугольников SMN и SAВ.
Поэтому сходственные стороны MN и АВ относятся как 2/3.