№1 : докажите, что уравнение xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах. № 2 : докажите, что если α, β, γ - углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1. № 3 : три шара радиуса r касаются друг друга и плоскости α, четвертый шар радиуса r положен сверху так, что касается каждого из трех данных шаров. определите высоту «горки» из четырех шаров. № 4 : докажите неравенство x2 - 3x3 < 1/6 на луче [1/4; + ∞). № 5 : в прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. докажите, что в прямоугольник можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.