Каким должно быть , что бы функция являлась плотностью вероятности случайной величины x, принимающей любые значения? хотелось бы хотя бы понять этапы решения.

Нормальный закон распределения с параметрами a=0 и σ=1/√2 имеет плотность распределения f(x)=1/(√π)*e^(-x²). Если взять  a=1/√π,
то f(x)=a*e^(-x²) как раз и будет этой плотностью. ответ: a=1/√π.