Существует ли такое натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом натурального числа, после умножения на 3 становится кубом натурального числа, после умножения на 5 - пятой степенью натурального числа, а после умножения на 7 - седьмой степенью натурального числа. ответ объяснить.

Не существует

Я не искал но 95% что не существует =)
так что дерзай                     

Существует! 
степень натурального числа является натуральным числом.

пример подходящего числа:



объяснение:
1. при умножении числа на 2 должен извлекаться квадрат, значит, в число входит 2 в нечетной степени, 3 в четной, 5 в четной, 7 в четной.
2. степень двойки должна делиться на 3,5,7
3. степень тройки должна делиться на 2,5,7 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 3
4. степень пятерки должна делиться на 2,3,7 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 5
5. степень семерки должна делиться на 2,3,5 и при прибавлении к ней одного должна делиться на 7

такое число не единственно!