Двоє школярів почергово пишуть цифри 2k-значного числа, використовуючи тільки цифри 1, 2, 3, 4, 5. першу цифру пише перший школяр, - другу – другий, третю – перший і т.д. чи може другий школяр досягти того, щоб одержане число ділилось на 9, якщо перший школяр намагається йому перешкодити? розгляньте випадки k = 10 і k = 15.

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно чтобы сумма всех его цифр при делении на 9 давала в остатке 0. Соответственно второй игрок (всегда делающий последний ход) будет стремиться добиться нуля в остатке.
Рассмотрим варианты игры второго игрока и позиции, которые он может гарантировано занять за определённое число ходов.
Можно заметить, что своим первым ходом (т.е после того как напишет 2-ую цифру числа), второй игрок может гарантировано добиться остатка 6 (при делении на 9). (Т.к. если первый игрок напишет цифру 1, второй напишет 5, если первый напишет 2, то второй - 4, ..., если первый игрок напишет цифру 5, то второй - 1). Если своим первым ходом второй игрок сможет получить в остатке 6, то своим вторым ходом сможет гарантировано получить в остатке 3, по тому же принципу. И наконец своим третьим ходом (написав 6-ую цифру числа), второй игрок гарантировано получит в остатке 0. Далее - после своего четвёртого хода, второй игрок опять сможет получить в остатке 6, потом снова 3, потом 0 и т.д.
Следовательно второй игрок может получить в остатке 0 не только на своём третьем ходе (написав 6-ую цифру числа), но и на шестом, на девятом, на двенадцатом, ..., на 3n-ом ходе (написав соответственно 12-ую, 18-ую, 24-ую, ..., 6n-ую цифру числа). n ∈ N.
Из этого можно сделать вывод, что второй игрок сможет гарантировано достичь того, чтобы полученное число делилось на 9 тогда и только тогда, когда в этом числе будет 6n цифр. Это значит, что если школьники пишут цифры 2k-значного числа, второй школьник выиграет, только в том случае когда k будет делиться на 3. (тогда 2k будет делиться на 6) (при правильной игре).
Конкретно когда k = 10, второму школьнику не удастся выиграть, т.к. 10 не делится на 3. В том случае когда k = 15, победит второй школьник.
ответ: второй школьник одержит победу если k кратно 3. При k = 10 победит первый школьник (игрок), при k = 15 - второй.