Дан квадрат abcd со стороной 10. на его сторонах ab, - вопрос №60063210 от Викуся200631 25.02.2020 20:28

Question

Математика: Дан квадрат abcd со стороной 10. на его сторонах ab, bc и cd выбраны точки p, q, r соответственно так, что ap = 1, bq =2 и dr=3. найдите площадь треугольника pqr.

Викуся200631 · Answer

Пусть всего 2n=100 точек. Рассмотрим граф на этих вершинах. Рассмотрим вершину (пусть это вершина ) с наибольшей степенью. Пусть эта степень равна . Заметим, что у вершин, имеющих связь с нет ребер к другим вершинам, связанным с (иначе получился бы треугольник). Поэтому степень этих вершин не больше, чем 2n-u . Степени оставшихся не превосходят . Поэтому сумма степеней не превосходит u(2n-u)+(2n-u)u=2u(2n-u) . Количество ребер не превосходит $2u(2n-u)/2=u(2n-u)\leq (\frac{u+2n-u}{2})^2=n^2=2500$ (последнее неравенство — следствие из н-ва между ср. арифм. и ср. геометр.)

С другой стороны, несложно привести пример: рассмотрим двудольный граф (две равные доли по 50 вершин) и проведем всевозможные ребра (их будет 50*50=2500).

Если же проведено более 2500 ребер, то образуется хотя бы один треугольник (на самом деле их будет хотя бы 50).

ответ: 2500