Докажите, что значение выражения x^2+2y^2+2xy+6y+10 положительно при любых значениях переменных x и y.

при любых x и y,как сумма двух неотрицательных выражений (квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен) и положительного выражений.
доказано.

Х²+2у²+2ху+6у+10=(х²+2ху+у²)+(у²+2*3у+9)+1=(х+у)²+(у+3)²+1
(х+у)²≥0 
(у+3)²≥0
значит х²+2у²+2ху+6у+10=(х+у)²+(у+3)²+1 >0   всегда!