Существует ли внутри треугольника abc точка o такая, что если провести прямые ao, bo и co, то треугольник abc разобьется на 6 треугольников равной площади

Существует. В равностороннем треугольнике биссектриса каждого угла является также медианой и высотой. Все они пересекаются в одной точке, и каждая из них образует по 2 равных прямоугольных треугольника, равных между собой. Следовательно, их площади также равны.
                     S = 1/2 * a/2 * √(3a²/4),
где а - сторона равностороннего треугольника и гипотенуза прямоугольного треугольника.