За круглым столом сидят 15 мальчиков и 15 девочек и радостно смотрят друг на друга. докажите, что существует мальчик, напротив которого сидит девочка.

Кол-во мальчиков и девочек нечетное (15).
Значит, если напротив каждого мальчика сидит мальчик, то это пара. Максимум таких пар может быть 7 (14 мальчиков), а напротив пятнадцатого будет сидеть девочка.