Юрий разрезал клетчатую доску 97 на 25 на n прямоугольников 1 на 3 и m прямоугольников 1 на 5. какое наименьшее значение может принимать выражение | m-n | ?

97*25 = 2425 - площадь доски
1*3 = 3 - площадь N прямоугольников.
1*5 = 5 - площадь M прямоугольников.
3N+5M = 2425
Пусть |M-N| = x, причём x - минимально возможное. Тогда
1) M-N = x    или    2) M-N = -x
1) M = N+x
3N+5N+5x = 2425
8N = 2425-5x
Нужно подобрать такое минимальное x, чтобы число 2425-5x было кратным 8. Число делится на 8, если три последних его цифры нули или образуют число, которое делится на 8. Ближайшее число вида 2425-5x, которое делится на 8 - число 2400. Тогда x = 5.
8N = 2425-5*5
8N = 2425-25
8N = 2400
N = 300
Тогда M = 300+5 = 305, а |M-N| = |305-300| = |5| = 5.
Проверим: 300*3+305*5 = 900+1525 = 2425.

2) M = N-x
3N+5N-5x = 2425
8N = 2425+5x
Ближайшее число, которое делится на 8 - число 2440. Тогда x = 3:
8N = 2425+5*3
8N = 2425+15
8N = 2440
N = 305
Тогда M = 305-5 = 300, а |M-N| = |300-305| = |-5| = 5.
Проверим: 305*3+300*5 = 915+1500 = 2415 - не подходит.

Значит, наименьшее значение, которое может принимать выражение |M-N|, равно 5 при M = 305, N = 300.