При каком наибольшем целом значении параметра a из отрезков с длинами 1, a-3,a/2+5 можно составить треугольник?

Каждая сторона должна быть короче суммы двух других.

1 < a-3+a/2+5; a-3 < 1+a/2+5; a/2+5 < 1+a-3.

Упрощаем: a > -2/3; a < 18; a > 14.

Итак: 14 < a < 18.