Трехзначное натуральное число n с тремя различными цифрами называется удачным, если оно равно среднему арифметическому всех чисел, полученных из него пере- становкой цифр. например, число n = 481 удачно, так как является средним арифметиче- ским чисел 418, 481, 148, 184, 814 и 841. найдите наибольшее удачное число. (для того, чтобы посчитать среднее арифметическое нескольких чисел, надо сумму этих чисел поде- лить на их количество.)

Пусть удачное число записывается в виде abc. Тогда сумма всех шести чисел, образованных теми же цифрами, равно
abc + acb + bac + bca + cab + cba = 222 * (a + b + c)
Среднее арифметическое равно 222 * (a + b + c) / 6 = 37(a + b + c) = 37N. По условию оно равно abc.

N = a + b + c <= 9 + 8 + 7 = 24, при этом большему N соответствует большее число abc. Начинаем перебирать N от большего к меньшим:

N = 24: abc = 37N = 888 - цифры не разные.
N = 23: 37N = 851 - сумма цифр 8 + 5 + 1 = 14, а не 23
N = 22: 37N = 814 - не та сумма цифр
N = 21: 37N = 777 - одинаковые цифры
N = 20: 37N = 740 - не та сумма цифр
N = 19: 37N = 703 - не та сумма цифр
N = 18: 37N = 666 - одинаковые цифры
N = 17: 37N = 629 - подходит!

ответ. 629.

Обозначим это число N = 100a + 10b + c
Тогда его перестановки: 100a+10b+c; 100a+10c+b; 100b+10a+c;
100b+10c+a; 100c+10a+b; 100c+10b+a.
Их среднее арифметическое:
[ 100(2a+2b+2c) + 10(2a+2b+2c) + (2a+2b+2c) ] / 6 = 100a+10b+c
[ 100(a+b+c) + 10(a+b+c) + (a+b+c) ] / 3 = 100a+10b+c
111*(a+b+c) = 3*(100a+10b+c)
37*(a+b+c) = 100a + 10b + c
Это число должно делиться на 37. Наибольшее такое число - 629.
(629 + 692 + 269 + 296 + 269 + 296) / 6 = 629