Вданы координаты вершин пирамиды abcd. требуется средствами векторной найти: 1) угол между ребрами ab и ad; 2) площадь грани abc; 3) объем пирамиды; 4) длину высоты, проведенной из вершины d. составить уравнение плоскости, проходящей через точки a, b, c. a(1; 8; 2), в(5; 2; 6), с(5; 7; 4), d(4; 10; 9).

Даны координаты пирамиды: A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(5,7,4), A4(4,10,9).
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2
A1A2 (AB)(4;-6;4)
A1A4 (AD)(3;2;7)

 Модули векторов (длина ребер пирамиды).
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
|a| = √(X²+Y²+Z²).
A1A2 (AB) = √(4²+(-6)²+4²) = √68 ≈ 8,246.
A1A4 (AD) = √(3²+2²+7²) = √62 ≈ 7,874.

 Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1*a2 = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2.
Найдем угол между ребрами A1A2(4;-6;4) и A1A4(3;2;7):
cosα = (4*3+(-6)*2+4*7)/(√68*√62) = 0,431.
α = arccos(0.431) = 64,4560°.

2) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Найдём вектор A1A3 (АС)(4;-1;2),
 его модуль равен √(16+2+4) = √21 ≈ 4,583.
Векторное произведение:
 i     j    k
4   -6   4
4  -1    2=
=i((-6)*2-(-1)*4) - j(4*2-4*4) + k(4(-1)-4(-6)) = -8i + 8j + 20k
S=(1/2)*|A1A2→⋅A1A3→|=(1/2)*|−8i+8j+20k|=(1/2)*√(8²+8²+20²) =(1/2)√528 ≈ 11,489.

3) Объем пирамиды равен: 
(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AS{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
Сначала используем найденное векторное произведение АВ*АС:
(AB)(4;-6;4)*(АС)(4;-1;2) =
               x     y     z
AB*AC:  -8     8    20, затем умножаем на вектор АД:
АВ*АС*АД = |(-8)*3+8*2+20*7| = 132.
Объём V пирамиды равен: V = (1/6)*(АВ*АС*АД) = (1/6)*132 = 20 куб.ед.

4) Длина высоты Н, проведенной из вершины D на основание АВС, равно:
Н = 6*V/(S(ABC)) = 6*22/((1/2)√528) = 5,744563.

5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1       y-y1        z-z1
x2-x1     y2-y1      z2-z1
x3-x1     y3-y1      z3-z1= 0
Уравнение плоскости A1A2A3 (ABC)
x-1   y-8   z-2
 4     -6     4
 4     -1     2  = 0
(x-1)((-6)*2-(-1)*4) - (y-8)(4*2-4*4) + (z-2)(4(-1)-4(-6)) = -8x + 8y + 20z-96 = 0
Упростим выражение: -2x + 2y + 5z - 24 = 0.
Можно умножить на -1, чтобы коэффициент при х был положительным:
АВС: 2х - 2у - 5z + 24 = 0.