Есть ли такая цифра, которую можно поставить вместо * в числе 201*2017, так чтобы при делении на 5 и на 9 они давали равные остатки?

Рассмотрите такой вариант:
При делении на 5 с любой цифрой вместо * (рассматриваем число 201*2017) в остатке будет 2.
Зная это, а также то, что 20152017 делится на 9, получаем число 20172017 (к пяти прибавить два).

20172017 / 5 = 4034403 (остаток 2)
20172017 / 9 = 2241335 (остаток 2)