Можно ли нарисовать на бумаге 9 отрезков, чтобы каждый пересекался ровно с 3 другими?

ответ:
Нет, нельзя.
Решение:
Граф, у которого вершины соответствуют отрезку будет иметь нечётное количество нечётных вершин. Значит, не получится.