За круглым столом сидят 12 человек — лжецы и правдивцы. каждый произносит фразу «оба мои соседа - лжецы! » сколько лжецов может быть среди них на самом деле?

Будем считать, что лжецы никогда не  говорят правду. Тогда три лжеца рядом сидеть не могут (иначе получится, что средний сказал правду). Вокруг правдивого могут сидеть только лжецы (иначе получится, что правдивый сказал неправду). Таким образом, максимальное количество лжецов может быть, только когда они сидят по двое, и эти пары разделены правдивыми: 001001001001 (здесь 0 - лжец, 1 - правдивый), т.е., максимально может быть 8 лжецов. Минимальное количество лжецов будет, когда каждый лжец сидит между правдивыми, т.е. 010101010101, что дает 6 лжецов. 7 лжецов также возможны: 001001010101. Итак, среди них могут быть 6,7 или 8 лжецов.