Полуокружность,центр o которого лежит на гипотенузе ac прямоугольного треугольника abc, касается катетов. найдите площадь квадрата со стороной ac, если отрезок bo разбивает площадь треугольника на части 24 см^2 и 36 см^2.

Радиус окружности перпендикулярен касательной к ней.

Значит высоты обоих треугольников будут равны.

AB*r/2=24
BC*r/2=36

Приравняем r/2.

r/2=24/AB=36/BC

BC=1.5AB

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов делённому на 2, следовательно:

24+36=BC*AB/2
60=1.5AB^2/2
120=1.5AB^2
AB^2=80

BC^2=2.25AB^2
BC^2=180

По т. Пифагора:

AC^2=AB^2+BC^2=80+180=260

Площадь квадрата равна его стороне в квадрате, то есть:

S=AC^2=260

ответ: 260.

Площадь ΔАВС=24+36=60

Пусть АВ=х, а ВС=у
Проведем радиусы в точки касания К и L, то есть ОК=OL=R
По теореме радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. То есть ∠АКО=∠ВLO=90°



по условию площадь ΔАОВ=24 и площадь ΔВОС=36.



поделим первое уравнение на второе:





зная, что площадь ΔАВС=60, запишем еще одну систему:



Площадь квадрата со стороной АС = АС²

АС² найдем по теореме Пифагора из ΔАВС:



ОТВЕТ: 260 см²