Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна альфа. при каком значении альфа отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? чему равно наибольшее значение этого отношения?

Нажмите на рекламу ниже и сразу увидите ответ

↓

Популярные вопросы:

кобра453

29.12.2022 19:18

На 3-х полках стояло 110 книг,причём на 1-ой полке в 2 раза больше книг, чем на 2-й и на 5больше чем на 3-й . сколько книг стояло на каждой полке?...

rusibragimova9

29.12.2022 19:18

33 3 3 3=100. какие знаки нужно вставить чтобы получить ответ 100...

холера678

29.12.2022 19:18

Экипажу предстоит узнать сколько км флот нам должны проплыть, запланировано плить 5 часов по 62 км ч и 3ч со скоростью 59км ч какое расстояные нужно приодалеть...

fjjjfg

16.12.2021 02:28

1987-(29716: 68+192×64); 1-⅞+семь десятых): ⅜-две пятых...

aynuran1

29.12.2022 19:18

Сколько процентов составляет а) 8 от 40 б) 20 от 8 в) 30 кг от 1 т....

Арте20

11.12.2020 05:47

Решите . нужные (номера) выделены карандашом...

Nikitos1111111111111

29.12.2022 19:18

Решите (9+33874-33875)*(11362-79+6): 852=...

рома1325

29.12.2022 19:18

Для 3 класса,ломаем у саши есть 5 синих, 6 зелёных и 20 красных пуговиц. он хочет выложить пуговицы в ряд так, чтобы никакие две соседние пуговицы не были одного цвета. какое наибольшее...

1234567890dd

15.10.2021 09:56

Нужно нарисовать рыбку с коэффициентом 2...

Temosha101010

29.12.2022 19:18

Раскройте скобки -2(3х+4)+(6х+8)=4(5х-+8)...

Ответ:

Chundokova

06.10.2020 14:22

Дано: ABC - треугольник, $\angle BAC=\angle BCA=\alpha,\,\,\,\, AB=BC$
r - радиус вписанной окружности
R - радиус описанной окружности

$\angle ABC=180а-2 \alpha$

по т. Синусов: $\frac{AC}{\sin\angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{AC}{\sin(180а-2 \alpha )} = \frac{BC}{\sin \alpha }$

Откуда $AC= \frac{BC\sin(180а-2 \alpha )}{\sin \alpha } = \frac{ BC\sin2 \alpha }{\sin \alpha } =2BC\cos \alpha$

Из площади треугольника АВС имеем, что $S=0.5AC\cdot BC\sin \angle BCA=BC\cos \alpha \cdot BC\sin \alpha =BC^2\cos \alpha \sin\alpha$

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $r= \frac{S}{p}$

$p= \frac{AB+BC+AC}{2}= \frac{2BC+AC}{2} = \frac{2BC+2BC\cos \alpha }{2} =BC(1+\cos \alpha )$

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} =2R\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, R= \frac{BC}{2\sin \alpha }$

Тогда отношение $\frac{r}{R} = \frac{BC^2\sin \alpha \cos \alpha }{BC(1+\cos \alpha )} \cdot \frac{2\sin \alpha }{BC} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha }{1+\cos \alpha }$

Нужно найти наибольшее значение функции $\frac{r}{R} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha }{1+\cos \alpha }$ на промежутке $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$

$( \frac{r}{R} )'=2\cdot \frac{(\sin^2 \alpha \cos \alpha )'(1+\cos \alpha )-(1+\cos \alpha )'\sin^2 \alpha \cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2} =\\ \\ = 2\cdot\frac{\sin \alpha (2\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha )(1+\cos \alpha )+\sin^2 \alpha \cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2}=\\ \\ =2\cdot \frac{\sin \alpha (2\cos^2 \alpha -1+\cos^2 \alpha )(1+\cos \alpha )+(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )\cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2} =\\ \\ =2\cdot \frac{\sin \alpha (3\cos^2 \alpha -1+\cos \alpha -\cos^2 \alpha )}{1+\cos\alpha}=$

$= \frac{2\sin \alpha (2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1)}{1+\cos \alpha }$

Приравниваем к нулю

$\frac{2\sin \alpha (2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1)}{1+\cos \alpha }=0\\ \\ \sin \alpha =0;\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, \alpha = \pi n,n \in Z\\ \\ 2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1=0$
пусть $\cos \alpha =t(|t| \leq 1)$ , тогда имеем

$2t^2+t-1=0\\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=9\\ t_1=-1\\ t_2=0.5$

Обратная замена

$\cos \alpha =-1;\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, \alpha = \pi +2 \pi n,n \in Z\\ \cos \alpha =0.5;\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z$

На промежутке при n=0 корень $x= \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет.

(0)___+__(π/3)__-___(π/2)
В т. х=π/2 производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно х=π/3 - точка максимума.

Найдем наибольшее значение этого отношения

$\frac{2\sin^2 \frac{\pi}{3} \cos\frac{\pi}{3} }{1+\cos\frac{\pi}{3} }=0.5$

ответ: наибольшее значение равно 0,5 при $\alpha =\frac{\pi}{3}$

0,0(0 оценок)

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку