10. докажите, что в любом треугольнике авс середина стороны вс лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной точке а, и делит этот отрезок пополам.

BF⊥AB (∠ABF=90 - вписанный угол, опирающийся на диаметр),
CD⊥AB (CD - высота к AB) => BF||CD

Аналогично CF||BD

BFCD - параллелограмм (противоположные стороны параллельны).
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
BE=EC, DE=EF