Доказать,что если углы треугольника связаны равенством: - вопрос №776892022 от vmyasnikova 02.07.2021 17:28

Question

Математика: Доказать,что если углы треугольника связаны равенством: cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)=1, то треугольник - прямоугольный.

vmyasnikova · Answer

Упорядочим по возрастанию углы треугольника $A \leq B\leq C$

Очевидно, что $C\geq\pi/3\qquad A+B\leq 2\pi/3$

Если первое не выполнится, то сумма углов треугольника будет заведомо меньше π, а второе следует из первого. Также заметим, что если в треугольнике и есть тупой угол, то это угол С, а углы A и B гарантированно острые

Преобразуем

$\cos^2(A)+\cos^2(B)+\cos^2(\pi-A-B)=1\\ 1+\cos(2A)+1+\cos(2B)+2\cos^2(A+B) = 2\\ \cos(2A)+\cos(2B)+2\cos^2(A+B)=0\\ 2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2(A+B)=0\\ \cos(A+B)[\cos(A+B)+\cos(A-B)]=0\\
2\cos(A+B)\cos(A)\cos(B)=0$

Так как углы острые, остается единственный вариант:
A+B=π/2.
C = π-A-B = π/2