82 или 93
Пошаговое объяснение:
Пусть задуманное число состоит из x десятков (так как x - цифра и число двузначное: 1≤x≤9) и y единиц (так как y - цифра: 0≤y≤9), тогда искомое число можно записать в следующем виде: 10·x+y . По условию задачи составим уравнение: 10·x+y = x·y+66 .
Произведём преобразования:
10·x+y=x·y+66 ⇔ 10·x+y-x·y=66 ⇔ 10·x+(1-x)·y=66 ⇔ -10·(-x)-10+(1-x)·y=66-10 ⇔
⇔ (1-x)·y-10·(1-x)=56 ⇔ (1-x)·(y-10)=56 ⇔ y-10=56/(1-x) ⇔ y=10+56/(1-x).
Так как для цифр есть ограничения 1≤x≤9, 0≤y≤9, x∈Z и y∈Z, то из последнего равенства получим следующие требования:
1) 10+56/(1-x)≥0 и 1≤x≤9, отсюда x∈(6,6; 9). В силу этого получим:
x=7 или x=8 или x=9.
2) 10+56/(1-x)∈Z, отсюда 56/(1-x)∈Z, то есть 1-x является делителем 56.
Проверим:
если x=7, то 1-x=1-7= -6 не является делителем 56;
если x=8, то 1-x=1-8= -7 является делителем 56;
если x=9, то 1-x=1-9= -8 является делителем 56.
Отсюда:
если x=8, то y=10+56/(1-8)=10+56/(-7)=10-8=2 и
если x=9, то y=10+56/(1-9)=10+56/(-8)=10-7=3.
Тогда, ответ: 82 или 93.
