При каком значении x₀ касательная к графику функции y= x²+ 2x +1 в точке x₀ параллельна оси ₀ₓ

Task/25512251

При каком значении X₀ касательная к графику функции y= x²+ 2x +1 в точке X₀ параллельна оси ₀  || конечно оси OX . ( не может быть оси ординат) ||

График квадратного трехчлена парабола. Касательная  к  графику параллельной  оси OX возможно  ТОЛЬКО в точке вершины параболы.

y= y= x²+ 2x +1 = (x+1)² .  Парабола  c вершиной  в точке  ( -1 ; 0). 

ответ : x₀ = - 1.   (уравнение касательной:  y =0 _ ось абсцисс ) .

* * * 
a  так  y =(x+1)²  ⇒ y ' = 2(x+1) ;  k =tqα =y ' (x₀) = 0 ⇔ 2(x₀+1) =0 ; x₀ = -1.

Рассмотрите такой вариант решения. Общий вид уравнении касательной f(x) = y'(x₀)(x-x₀) + y(x₀). Тогда y'=2x+2;  y'(x₀) = 2x₀+2 и y(x₀) = x₀² + 2x₀ + 1

f(x) = (2x₀+2)(x-x₀) + x₀² + 2x₀ + 1 = 2(x₀+1)(x-x₀)+(x₀+1)² = (x₀+1)(2x-2x₀+x₀+1) = 
= (x₀+1)(2x-x₀+1)

При x₀=-1 уравнение касательной будет f(x)=0 - прямая, совпадающая с осью Ох