Существуют ли такие значения переменной b при которых значения выражений 7b^2+6, b-7 и -8-9b^2 обращаются в последовательные члены арифметической прогрессии?

Да, существуют.
Воспользуемся св-вом арифм. прогрессии - половина суммы n-го  и n+2 члена равна n+1    члену прогрессии

(7b²+6+(-8-9b²))/2=b-7
b²+b-6=0
решая квадратное ур-е, получаем

b=2; -3

подставляя эти значения для проверки, убеждаемся , что при этих значениях выражения обращаются в последовательные члены арифметической прогрессии.