Решите систему уравнений : х^2+xy+y=1; y^2+xy+x=5

Складываем уравнения:
x^2 + xy + y + y^2 + xy + x = 1 + 5
(x^2 + 2xy + y^2) + (x + y) - 6 = 0
(x + y)^2 + (x + y) - 6 = 0

Получаем квадратное уравнение относительно t = x + y:
t^2 + t - 6 = 0

По теореме Виета сумма корней равна -1, произведение -6. Угадываем корни: t = -3 или t = 2.

1) t = -3
x + y = -3 [*]

Рассматриваем первое уравнение:
x^2 + xy + y = 1
x(x + y) + y = 1
-3x + y = 1

Вычитаем из уравнения [*] получившееся уравнение.
x + y + 3x - y = -3 - 1
4x = -4
x = -1

y = -3 - x  = -3 + 1 = -2.

2) Аналогично с t = 2.
x + y = 2
2x + y = 1

x = -1
y = 3

ответ. (-1, -2), (-1, 3).