Вряду находится 10 шкафчиков, пронумерованных от 1 до 10. каждый шкафчик нужно покрасить в красный, синий или в зелёный, исходя из следующих правил:
- два шкафчика с номерами n и m окрасить в разные цвета, когда n - m = нечетное число
- не обязательно использовать все 3 цвета

сколько возможных вариантов окраски ряда шкафчиков существует? требуется доказательство.

( как-то вот так, заранее за )

Обозначим каждую часть латинской буквой: 
a, b, c, d - соответственно, 1, 2, 3 и 4 части. Имея значения отношений этих частей, составим уравнения: 
Первая часть относится ко второй как 2 к 3. 
То есть a / b = 2 / 3 
Значит, 2b = 3a 
Отсюда находим b = 3a / 2 = 1.5a (вторая часть) 

Вторая к третьей относится как 3 к 5: 
b / c = 3 / 5 
5b = 3c 
c = 5b / 3 
Вместо b подставим найденное 3a / 2: 
c = 5 * (3a / 2) / 3 = 15a / 2 / 3 = 15a / 2 * 1/3 = 15a / 6 = 2.5a (третья часть) 

Третья часть относится к 4 как 5 / 6 
c / d = 5 / 6 
6c = 5d 
d = 6c / 5 (Подставим вместо c найденное ранее 2.5a: 
d = 6 * 2.5a / 5 = 15a / 5 = 3a (четвёртая часть). 

Сумма всех частей равна 125. Составим уравнение: 
a + b + c + d = 125 
Подставим вместо b, c, d выражения с a: 
a + 1.5a + 2.5a + 3a = 125 
8a = 125 
a = 125 / 8 
a = 15.625 
b = 1.5a = 15.625 * 1.5 = 23.4375 
c = 2.5a = 15.625 * 2.5 = 39.0625 
d = 3a = 15.625 * 3 = 46.875 
Проверяем: 15.625 + 23.4375 + 39.0625 + 46.875 = 125 (равенство верное). 
ответ: a = 15.625 
b = 23.4375 
c = 39.0625 
d = 46.875

Прямая проходящая через точки A, B имеет уравнение:

y=ax+t, подставим координаты точек чтобы найти уравнение в явном виде.

4=a·o+t ⇒ t=4; 0=a·5+t ⇒ a=-4/5=-0,8

Исходя из последовательности вершин четырёхугольника, получаем, что координаты M(x;y) удовлетворяют неравенству y≥-0,8x+4.

Заметим, что S(AOBM) = S(AOB)+S(BMA), при этом S(AOBM)=20, S(AOB)=AO·OB/2=10.

Тогда S(BMA)=10.

Поскольку площадь треугольника постоянная и длина стороны AB тоже. То высота опущенная из M на AB должна быть постоянной, откуда M лежит на прямой параллельной AB. Тогда угол наклона k равен углу наклона прямой проходящей через точки A, B.

k = -0,8

ответ: -0,8.