Доказать тригонометрическое тождество (по этапно): 1+sin a+cos a+tg a=(1+cos a)*(1+tg a)

Тождество - это равенство, верное, при любых значениях входящих в него переменных
Доказать тождество - значит выполнить допустимые преобразования так, чтобы и слева и справа были одинаковые выражения.
Выпишем левую часть, раскроем скобки, учтем, что tgα = sinα/cosα
(1 + cosα)(1 + tgα) = 1 + tgα + cosα + cosα · tgα =
= 1 + tgα + cosα + cosα · sinα/cosα = 1 + tgα + cosα + sinα =
= 1 + sinα  +  cosα  + tgα
Таким образом, правая часть равна левой.
Значит, тождество доказано.