Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=1/3x^3-2x^2+3x на числовом отрезке 0; 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=1/3x^3-2x^2+3x на числовом отрезке [0, 2], мы будем использовать процедуру поиска экстремумов функции.

1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и продифференцируем его по x.

dy/dx = d/dx (1/3x^3) - d/dx(2x^2) + d/dx(3x)

2. Выполним дифференцирование. В результате получим:

dy/dx = x^2 - 4x + 3

3. Решим уравнение dy/dx = 0 для нахождения экстремумов функции.

x^2 - 4x + 3 = 0

4. Решим это уравнение с помощью факторизации.

(x - 1)(x - 3) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 1 и x = 3.

5. Теперь найдем значения функции y при этих значениях x. Подставим x = 1 и x = 3 в исходную функцию y=1/3x^3-2x^2+3x.

y(x = 1) = 1/3(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) = 1/3 - 2 + 3 = 2/3

y(x = 3) = 1/3(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) = 1/3 * 27 - 2 * 9 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0

Итак, мы получили два значения функции: y = 2/3 и y = 0.

Таким образом, наибольшее значение функции y=1/3x^3-2x^2+3x на отрезке [0, 2] равно 2/3, а наименьшее значение равно 0.