Ввершинах семнадцатиугольника записали различные целые числа (по одному в каждой вершине). затем все числа одновременно заменили на новые: каждое заменили на разность двух следующих за ним по часовой стрелке чисел (из соседнего вычитали следующее за ним). могло ли произведение полученных чисел оказаться нечётным?

Нет.

Пусть по кругу стояли числа a1, a2, ..., a17, тогда новые числа будут равны a2 - a3, a3 - a4, ..., a17 - a1, a1 - a2, и их сумма равна 0.
Если сумма 17 чисел чётная, то среди них есть хотя бы одно чётное число (сумма нечетного числа нечётных чисел нечётна). Тогда произведение этих чисел чётно.