Доказать и найти предел: ( a^x) =a^x.lna - вопрос №8355848 от Tasik3 13.05.2022 04:05

Question

Математика: Доказать и найти предел: ( a^x) =a^x.lna

Tasik3 · Answer

Рассмотрим конкретную точку х₀. Зададим в данной точке приращение Δх и составим соответствующее приращение функции :

$зy~=~f(x_0~+~зx)~-~f(x_0)~=~ a^{x_0+зx}~-~a^{x_0}$

Пользуясь определением производной, имеем что предел

$\displaystyle \lim_{з x \to 0} \frac{з y}{зx} =\lim_{з x \to 0} \frac{a^{x_0+зx}~-~a^{x_0}}{зx} =\lim_{з x \to 0} \frac{a^{x_0}(a^{зx}~-~1)}{зx} =a^{x_0}\ln a$

В качестве x₀ можно выбрать любую точку х ∈ R, то, осуществив замену x₀ = x, получим желаемое.

Доказано.

Доказать и найти предел: ( a^x)'=a^x.lna