Прямой круговой конус с наибольшим объемом вписан в данный конус. причем вершина внутреннего конуса находится в центре основания данного конуса. показать, что высота внутреннего конуса составляет 1/3 высоты данного конуса.

Через ось конуса проведем сечение, тогда в сечении получим равнобедренный треугольник ABC.  В сечении вписанного конуса - треугольник DEF, где D - середина АВ,  EF параллельна AC.
Пусть h - высота треугольника DEF,  r - радиус основания меньшего конуса.
Треугольник ABC подобен треугольнику EBF.  Пусть R - радиус основания большего конуса,  H - высота большего конуса.  Из подобия треугольников ABC и EBF :   R/r = H/(H-h)   =>  r =R(H - h)/H    Vкон.вписан = (1/3)*R^2*(H-h)^2*h/H^2  Необходимо найти максимум этого выражения для параметра h, считая R и H заданными.  Постоянную R^2/H^2  можно убрать, следовательно, нужно найти максимум выражения  (H - h)^2*h  -> max
( h изменяется от 0 до H).
Находим производную и приравниваем нулю,  3h^2 - 4Hh + H^2 = 0
h = (4H - кор квадр(16H^2 - 12H^2))/6 = (4H -2H)/6  =  H/3
Следовательно, H/h = 1/3