Существует ли натуральное число, квадрат которого имеет сумму цифр, равную 2009

Существует, и не одно

Рассмотрим числа
2009 (сумма цифр 11)
и
2*2009=4018 (сумма цифр 13)

Найдем х и у такие, что
11x+13 y =2009
11x+11y+2y=182*11+7
2y-7=11 k

Например, y=9, k=1. Тогда х=172.

Выписываем подряд
172 раза число 2009 и 9 раз число 4018.

Сумма его цифр равна 172*11+9*13=2009.
Очевидно, что оно делится на 2009.

Аналогичным образом можно составить ещё кучу таких чисел
с 2009 и 2*2009
а также
со всевозможными числами, кратными 2009.