"построение графиков функций" построить график функции у(х)=х^2\х^2+2х+3 1. найти область определения функции; 2. исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометри- ческих функций); 3. найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют); 4. исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты; 5. найти экстремумы и интервалы монотонности функции; 6. определить интервалы выпуклости и точки перегиба; 7. найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнитель- ные точки, уточняющие график

Дана функция у(х)=х²/(х²+2х+3).
1. Найти область определения функции.
Функция дробная, знаменатель не может быть равен нулю.
 х²+2х+3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*3=4-4*3=4-12=-8; Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.
Значит, ограничений нет.
2. Исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций).
f(-x) = (-x)² + 2*(-x) + 3 = x² - 2x + 3 ≠ f(x) и не равно -f(-x).
Значит, функция не чётная и не нечётная.
3. Найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют).
Точек разрыва и вертикальных асимптот нет.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты; 
Наклонных асимптот нет, горизонтальная есть: у = 1 (решение в приложении). 
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
Находим производную функции.
y' = (2x(x+3))/((x²+2x+3)²)
Приравниваем нулю (достаточно числитель).
2х(х+3) = 0.
Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -3.
Находим знаки производной в полученных промежутках.
x =     -4     -3     -2     0       1
y' =     8      0     -4      0       8.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Функция: возрастает на промежутках х ∈ (-∞; -3)∪(0; +∞),
                убывает на промежутке х ∈ (-3; 0),
максимум функции в точке х = -3,
 минимум                              х = 0.
6. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба.
Для этого находим вторую производную.
y'' = (-4x³-18x²+18)/((x²+2x+3)³).
Приравняв нулю числитель, находим 3 точки перегиба графика:
х= -4,25098, х = -1,16089 и х = 0,911869.
7. Найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Ось Ох не пересекается, только есть точка касания х = 0.
Ось Оу пересекается при х = 0.
Дополнительные точки для построения графика даны в приложении.