Во время опроса 64 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. оказалось, что из любых 10 о по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. при каком наибольшем m можно утверждать, что среди о обязательно найдутся m человек, указавших один и тот же фильм?

Пусть n человек проголосовали за фильмы, получившие 1 или 2 голоса, и нашлось k фильмов, получивших не менее 3 голосов.
Заметим, что чтобы в любой десятке о нашлись трое, проголосовавших за один и тот же фильм, необходимо, чтобы если мы возьмём всех людей, проголосовавших за непопулярные фильмы, и добавим по 2 респондента, выбравших каждый популярный фильм, получилось не больше 9 человек: n + 2k ≤ 9; n ≤ 9 - 2k

За популярные фильмы проголосовали 64 - n человека. Так как всего есть k популярных фильмов, то максимальное гарантированное число выбравших один и тот же фильм равно [(64 - n)/k], где [x] - округление числа x вверх до ближайшего целого.

[(64 - n)/k] ≥ [(64 - 9 + 2k)/k] = [55/k] + 2
[55/k] + 2 - функция, убывающая с ростом k, значит, своё минимальное значение она принимает при максимальном k. Так как 2k ≤ 9 - n ≤ 9, то k ≤ 4, [55/k] + 2 ≥ 16.

Итак, при любых допустимых n и k обязательно найдутся 16 человек, проголосовавших одинаково. 17 человек может уже не найтись: например, если 4 фильма были названы 16 людьми, то 17 человек, проголосовавших одинаково, не будет.

ответ. M = 16.