На доске написаны пять натуральных чисел. оказалось, что сумма любых трёх из них делится на каждое из остальных. обязательно ли среди этих чисел найдётся четыре равных?

Берём сначала три числа 
1,2,3 - сумма любых двух делится на третье. 
Добавляем к ним четвёртое число, равное их сумме. 

1, 2,3,6. 

Точно так же можно построить 5, 6, ..n чисел, что сумма любых (n-1) делится на оставшееся. 

Действительно, если n-1 чисел, обладающих свойством, что любая сумма без одного делится на это одно, 
то добавляем a_n= сумме всех a_k. 

Тогда сумма всех без последнего равна последнему, делится на него. 

Сумма всех без какого-то a_k =ak=a_1+a_2+..+a_n-a_k=a_1+a_2+..+a_(n-1)+a_1+a_2+..+a_(n-1)-ak= 
=2*(сумма первых (n-1) без а_k)+a_k 

Так как (сумма первых (n-1) без а_k) делится на a_k, a_k делится на a_k, то и 
cумма всех без какого-то a_k делится на a_k