Каковы должны быть числа p и q, чтобы они и только они были всеми корнями уравнения x^2+px+q=0? с объяснением, .

Х^2+рх+q=0 - квадратное уравнение вида ах^2+bх+с.
Корни такого уравнения определяются с дискриминанта.
D= b^2-4ac= p^2-4·1·q=p^2-4q.
Корни уравнения определяются по формулам:
х1=(-b+корень из D)/(2a) = (-p+корень(p^2-4q))/2.
x2=(-b-корень из D)/(2a) = (-p-корень(p^2-4q))/2.
По условию p и q являются корнями уравнения. Значит, нужно решить две системы уравнений:
1)х1=p; x2=q.
2) x1=q; x2=p.
Подставим выражения для х1 и х2.
1) (-р+корень(р^2-4q))/2=p;
(-p-корень(p^2-5q))/2=q.
2) (-p+корень(p^2-4q))/2=q.
(-p-корень(p^2-4q)=p.
Умножим на два все части уравнений, чтобы избавиться от дробей и оставим в левой стороне только корень из дискриминанта.
1) корень(p^2-4q)=3 p.
корень(p^2-4q)=-2q-p.
Т.е. 3р=-2q-p.
4p=2q.
q=2p.
Возведем в квадрат первое уравнение первой системы.
p^2-4q=9p^2. Подставим q=2p.
8p^2=-4q=-4·2p. p=-1. q=-2.
Второй ответ р=0, q=0.
2) корень(p^2-4q)=2 q +p.
корень(p^2-4q)=-3p.
Отсюда 2q+p=-3p. q=-2p.
Возведем в квадрат второе уравнение второй системы.
p^2-4q=9p^2.
8p^2=-4q=8p. p=1. q=-2.
Второй ответ р=0, q=0.
ответ к заданию: 1) q=p=0; 2) q=-2, p=1; 3) q=-2, p=-1.