№1. на плоскости хоу требуется найти кривую, проходящую через точку о(0; 0) и тем свойством, что угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенному квадрату абсциссы точки касания. №2. требуется найти закон движения свободно в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна 7 м/с2.

1. y = y(x),
y' = 2*(x²),
y(0) = 0.
Решаем обыкновенное диф. уравнение с начальным условием.
dy/dx = 2*x²,
dy = 2*x²dx,
S dy = S 2*x²dx,
y = (2/3)*x³ +C,
y(0) = (2/3)*0 + C = 0,
C = 0.
y = (2/3)*x³.
2. Ось OX направим вертикально вниз, будем считать координату в момент времени t=0  x = 0.
По второму закону Ньютона составим уравнение.
m*a_x = mg,
a_x = g,
где a_x - проекция вектора ускорения на ось OX, то есть a_x = x''.
g - ускорение свободного падения, g - константа,
x'' = g.
Кроме того, по условию начальная скорость, то есть v(0) = x'(0) = 7м/с.
x'' = g,
Интегрируем
S x'' dt = S g dt
x' = gt + C,
x'(0) = g*0 + C = 7,
С = 7,
x' = gt + 7,
интегрируем
S x' dt = S(gt+7)dt
x = (g/2)*t² + 7t + C₂,
x(0) = (g/2)*0 + 7*0 + C₂ = 0,
C₂ = 0,
x = (g/2)*t² + 7t.