Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 128 см, а медіана, проведена до основи, дорівнює 32 см. відстані від точки простору до вершин трикутника становлять до 65 см. знайдіть відстань від цієї точки до площини даного трикутника.

Дано:
- периметр АВС = 128 см,
- медиана ВД ( она же и высота) = 32 см,
- наклонные L =65 см.

Примем АВ = ВС = х.
АС = 2√(х² - 32²).
Периметр Р = 128 = 2х+ 2√(х² - 32²).
Сократим на 2 и выразим относительно х.
64 = х + √(х² - 32²),
64 - х = √(х² - 32²). Возведём обе части в квадрат.
64² - 128х + х² = х² - 32².
128х = 64² + 32² = 4096 + 1024 = 5120.
х = 5120/128 = 40 см.
АС = 128 - 2*40 = 128 - 80 = 48 см.
Проекции наклонных на плоскость треугольника АВС - это радиусы R описанной окружности.
R = abc/4S = 40²*48/(4*(1/2)*32*48) = 1600/64 = 25 см.
Тогда Н = √(65² - 25²) = √(4225 - 625) = √3600 = 60 см.