Какое наибольшее число красных и синих фишек можно поставить на доску 60x60 так, чтобы в одной строчке с каждой красной фишкой не было бы других фишек, кроме неё, и в одном столбце с каждой синей фишкой не было бы других фишек, кроме неё?

Если речь идет о том, что в строчке должна быть только одна красная фишка, а в столбце - только одна синяя. то 60 красных и 60 синих по двум диагоналям квадрата. (рис.1)
Если цвет не принципиален, - то 30 красных и 30 синих на одной диагонали в любом порядке. (рис.2)