Когда 40 рабочих цеха включились в бригаду коммунистического труда, продукция цеха увеличилась на 20%; когда же 60% всех рабочих цеха стали работать по-новому, продукция цеха увеличилась в 2,5 раза. сколько рабочих в цехе и во сколько раз увеличится продукция цеха, когда все рабочие станут передовиками производства?

Первый путь решения:

это уравнение в полных дифференциалах.

Потому что

dP/dy=dQ/dx.

где

Р=(2x-y+1)

Q=(2y-x-1)

Надо найти такую функцию U(x;y), что

dU/dx=P

dU/dy=Q.

Тогда решение будет U=C.

С одной стороны

dU/dx=2x-y+1

U= x^2-xy+x +C1(y)

С другой стороны

dU/dy=2y-x-1

U=y^2-xy-y+C2(x)

x^2-xy+x +C1(y)=y^2-xy-y+C2(x)

x^2+x +C1(y)=y^2-y+C2(x)

C1(y)=y^2-y

U= x^2-xy+x +C1(y)= x^2-xy+x +y^2-y=C

Второй путь решения.

Это уравнение, сводящееся к однородному.

(2x-y+1)dx+(2y-x-1)dy=0

сгруппируем так:

(2(x+1/3) - (y-1/3))dx+(2(y-1/3)- (x+1/3))dy=0

замена

a=x+1/3; da=dx

b=y-1/3; db=dy

(2a-b)da+ (2b-a)db=0- однородное

вводим новую функцию

b/a=u

b=ua

db=uda+adu

(2a- ua)da+ (2ua-a)(uda+adu)=0

(2- u)da+ (2u- 1)(uda+adu)=0

(2+ 2u^2- 2u)da+ (2u-1)adu=0

разделяем переменные

∫da/a= 1/2*∫(1-2u)du/( u^2- u+1)

заметим, что (1-2u)du= -d(u^2- u+1)

ln(C*|a|)=-1/2 *ln(C|(u^2- u+1|)

откуда

a=C/√(u^2- u+1)

a*√((b/a)^2- b/a+1)=C

√((b^2- b*a+a^2)=C

(y-1/3)^2- (y-1/3)(x+1/3)+(x+1/3)^2=C^2

Пошаговое объяснение:

Кыш − табигать фасыллары арасында иң салкыны. Алтын көз үтүгә, таягына таянып, ап-ак сакалын җирдән сөйрәп, кунакка кыш килә. Килә дә җир өстенә күбәләк-күбәләк карлар яудыра. Кар бөртекләре, җемелдәшеп, бер-берсе белән уйнап, Җир-анага коелалар. Кыш, шулай итеп, үзенең ак келәмен җәя.
Кыш ул битләрне өшетердәй зәмһәрир салкыннарга, күз күремен киметердәй бураннарга да бик бай. Көннән-көн соңрак чыккан кояш та, үзенең саранлыгын күрсәтеп, салкынча гына елмая. Кыш үзенең аклыгы, сафлыгы белән күңелгә якын, үзенчә матур.
Чын кышны, билгеле инде, урманда гына тоярга була. Ә кырлар, яз җиткәнче ял итәргә уйлап, ап-ак юрганга төренәләр дә тыныч кына тирән йокыга талалар. Анда ап-ак кардан башка берни дә күреп булмый. Урманда песнәкләрнең һәм урман гайбәтчесе саесканның агачтан агачка сикереп йөрүе кышкы урманга азмы-күпме җанлылык өрә. Ап-ак түшәк өстендәге җәнлек эзләре дә урманның бөтенләй үк йоклап ятмавын күрсәтә. Салкын көннәрдә агачлар бәс белән каплана. Әйтерсең агачларны үтә күренмәле ап-ак ефәк белән чорнап чыкканнар. Урман эчендә сузылып киткән чаңгы эзеннән барганда, чаңгы таягы белән агачка кагыласың, йомшак кына энҗе бөртекләре коела. Агачларның кышкы салкыннарда шартлаулары ишетелә. Пышылдап кына әйтелгән сүзләр дә еракларга яңгырый. Бөтен дөньяда матурлык, аклык, сихри тынлык. Бөтен дөньяга яшәү матурлыгы турында кычкырасы килә. Тик тукталып каласың. Синең тавышыңнан агачлардагы аклык коелыр да, матурлыкка зыян килер кебек.
Кышкы урман гаҗәеп матур шул! Кыргый җәнлекләр дә кышны һәрберсе үзенчә үткәрә. Аю кар астындагы өнендә йоклап ята. Төлке үзенә азык эзли. Тиен көз көне киптергән чикләвекләрен, гөмбәләрен ашый. Куян ак тунын кигән. Керпе кар астында йоклый.
Кышын кыргый җәнлекләргә яшәү бик авыр. Аларга азык җитми. Шуңа күрә без аларга бераз ярдәм итәргә тиешбез. Кошларга җимлекләр ясап элергә һәм аларны һәрвакыт карап, тулыландырып торырга кирәк.
Урман − безнең зур байлыгыбыз. Аның ямен җибәрмәсәк, агачларны кисмәсәк һәм сындырмасак, кошларны атмасак, урманны сакласак иде.