Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:
Аналогично, объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = φ(x) (c ≤ x ≤ d), Осью Ox и прямыми y= c и y = d, находится по формуле:
ПРИМЕР №1. Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.
y2 = 4x; y = 0; x = 4.
Пределы интегрирования a = 0, b = 4.
ПРИМЕР №2. y2 = 4x; y = x
Выполним построение фигуры. Решим систему:
y2 = 4x
y = x
найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0), A(4;4).
Следовательно, пределы интегрирования a = 0; b = 4. Искомый объем представляет собой разность объема V1 параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x , и о объема V2 конуса, образованного вращением прямой y = x:
V = V1 – V2 = 32π – 64/3 π = 32/3 π
см. также как вычислить интеграл онлайн
ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .
Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.
Рис. 2. Объем тела вращения.
Объем тела может быть вычислен по формуле , где
, f2(x)=x.
.
ответ: .
см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями
Для правильного решения уравнений нужно уметь пользоваться математическим языком. Словами математического языка являются числовые и буквенные выражения.
Математические выражения могут состоять из одного числа или из одной буквы:
42
z
Или из двух и более чисел и букв, соединённых знаками арифметических действий:
a − 4
2x
x + y
В записи выражений никогда не применяются знаки равенств и неравенств.
= ; ≠ ; > ; < ; ≥ ; ≤
Знаки выше служат для записи равенств и неравенств.
Математические выражения делятся на числовые и буквенные.
Выражение называют числовым, если оно не содержит букв. Примеры числовых выражений:
8
3 · 4
5 : 1
41 + 2 · 3
Если выполнить все действия, содержащиеся в числовом выражении, то получится числовое значение выражения.
Пример:
Запись «30 · 5 + 40» — это числовое выражение.
Выполнив все действия, получим число «190» — числовое значение выражения.
Если какое-либо число в числовом выражении заменить буквой, то полученное выражение называют буквенным.
7t + 5
ab − c
25:5 − y
Читаются буквенные выражения следующим образом.
«4a» − четыре «a»
Более сложные выражения начинают читать по последнему выполняемому действию.
Пошаговое объяснение:
